変位ベクトル計算機

変位ベクトル計算機 - 距離と方向を計算

📐 変位ベクトル、ベクトルの大きさ、方向角、各成分を計算します。 2D/3D 空間での動きを、手順付きで可視化できます。

変位とは？

変位は、物体の位置の変化を表すベクトル量です。 実際に通った経路に関係なく、初期位置から最終位置までの直線的な差を示します。

変位の式

2D 変位:

Δr = ⟨Δx, Δy⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀⟩

3D 変位:

Δr = ⟨Δx, Δy, Δz⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀⟩

大きさ（距離）

2D:

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

3D:

|Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

方向角

2D：X軸からの角度

θ = arctan(Δy/Δx)

• 正の X 軸から反時計回りに測定
• 範囲：-180° ～ +180°（または 0° ～ 360°）
• 象限を正しく扱うには atan2(Δy, Δx) を使用

単位ベクトル

単位ベクトルは大きさ 1 で、変位の方向を指します：

û = Δr / |Δr|

計算例

例1：水平移動

• 初期：(0, 0)、最終：(10, 0)
• 変位：⟨10, 0⟩ m
• 大きさ：10 m
• 方向：0°（東）

例2：斜め移動

• 初期：(2, 1)、最終：(7, 5)
• 変位：⟨5, 4⟩ m
• 大きさ：√(5² + 4²) = 6.40 m
• 方向：arctan(4/5) = 38.66°

例3：3D移動

• 初期：(1, 2, 3)、最終：(4, 6, 8)
• 変位：⟨3, 4, 5⟩ m
• 大きさ：√(3² + 4² + 5²) = 7.07 m

変位と距離

主な違い：

• 変位：ベクトル（大きさ＋方向）、直線、0になることがある
• 距離：スカラー（大きさのみ）、経路の総延長、常に正

例：東に 5m、次に西に 5m 歩いた場合：

• 移動距離：10 m
• 変位：0 m（出発点に戻る）

実世界での用途

• ナビゲーション：GPSは目的地までの変位を計算
• 物理：速度 = 変位 / 時間
• 工学：構造物の変形解析
• ロボティクス：経路計画と位置追跡
• スポーツ：選手の動きの分析
• 航空：飛行経路と航法

方位（コンパス）

• N（北）：90°（正のY軸）
• E（東）：0°（正のX軸）
• S（南）：-90° または 270°（負のY軸）
• W（西）：±180°（負のX軸）
• NE：45°、SE：-45°、SW：-135°、NW：135°

ベクトルの加法

複数の変位は加算できます：

Δr_total = Δr₁ + Δr₂ + Δr₃ + ...

例：東に 3m、その後 北に 4m 歩く

• Δr₁ = ⟨3, 0⟩、Δr₂ = ⟨0, 4⟩
• 合計：⟨3, 4⟩、大きさ：5m、方向：53.13°（北東）

重要な性質

• 変位の大きさ ≤ 移動距離（直線経路のみ等しい）
• 変位は負になり得る（成分が負になることがある）
• 変位0 ≠ 動いていない（戻ってくれば0）
• 変位は経路に依存しない（開始点と終点のみ）

よくある間違い

• 変位と距離の混同 — 別物です！
• 角度の象限ミス — 正しい象限には atan2 を使用
• 方向を忘れる — 変位はベクトルなので方向が必要
• スカラーとベクトルの加算 — 距離を変位に足すことはできません

💡 プロのヒント： 物理の問題では、初期位置と最終位置を示す図を必ず描きましょう。 3Dでは右手の法則：親指（X）、人差し指（Y）、中指（Z）。 変位は経路ではなく「開始点と終点」だけで決まります。円を歩くと距離は大きくても、出発点に戻れば変位は0になります！