階乗計算機

階乗計算機 - 手順付きで n! を計算

🔢 0〜170 の任意の数について階乗（n!）を計算できます。手順の表示、順列・組み合わせ、現実世界での応用も確認できます。

階乗とは？

非負整数 n の階乗（n!）は、n 以下の正の整数をすべて掛け合わせた積です。 n 個の異なる物体を並べ替える方法の数を表します。

階乗の公式

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1（定義）
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)!（再帰定義）

階乗の例

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• 0! = 1（特別なケース）
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000

なぜ 0! = 1 なの？

0個の物体を並べる方法は「何もしない」1通り（空の並び）だけです。この定義により、 特に組合せ論などの数式が矛盾なく成り立ちます。再帰式 n! = n × (n-1)! からも、 1! = 1 × 0! なので 0! = 1 が必要になります。

順列

P(n,r) = n!/(n-r)!

n 個の異なる物体から r 個を取り出して並べる方法の数（順番が重要）。

• 例： P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• 用途： レースの表彰台（1位・2位・3位）

組み合わせ

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

n 個の異なる物体から r 個を選ぶ方法の数（順番は関係ない）。

• 例： C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• 用途： 宝くじ、委員会の選出

n! の末尾の0の数

末尾の0は 10 = 2 × 5 の因数で生まれます。2 は 5 より多いので、5 の個数だけ数えればOK：

0の数 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! は末尾の0が 2 個
• 25! は末尾の0が 6 個
• 100! は末尾の0が 24 個

現実世界での応用

• 暗号： 可能な鍵の数
• スケジューリング： 予定・タスク・イベントの並べ方
• 遺伝学： DNA/タンパク質の配列の可能性
• 確率： ゲームや宝くじの確率計算
• 計算機科学： アルゴリズムの計算量解析
• 製造： 生産ラインの配置
• 物流： ルート最適化

有名な階乗の値

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷（カードのシャッフル）
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰（宇宙の原子数 ≈ 10⁸⁰ を超える）
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷（158桁！）
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶（JavaScript最大）

スターリングの近似

大きな n では厳密計算が大変なので、スターリングの近似を使えます：

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

n が大きいほど精度が上がります。n = 10 では誤差は 1% 未満です。

階乗の増加の比較

階乗は指数関数や多項式よりはるかに速く増加します：

• 多項式： n² = 100（n=10）
• 指数： 2ⁿ = 1,024（n=10）
• 階乗： n! = 3,628,800（n=10）

二重階乗

二重階乗（n!!）は 1つおきに掛け算します：

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 または 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

サブファクトリアル（完全錯置）

サブファクトリアル !n は、どの要素も元の位置に戻らない並べ替えの数です：

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

例： !3 = 2（ABC のうち元の位置に戻らない並び：BCA, CAB）

プログラム実装

反復（ループ）：

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

再帰：

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 豆知識： 順列・組み合わせを計算する際は、オーバーフローを避けるために 先に共通因子を約分すると良いです。C(100,2) = 100!/(2!×98!) は、巨大な階乗を計算せず (100×99)/2 = 4,950 として求められます！